Generalized fractional Brownian motion

Abstract

Tato bakalářská práce se zabývá vlastnostmi zobecněného frakcionálního Brownova pohybu (GFBM), což je stochastický proces definovaný pomocí časové stochastické inte- grální reprezentace se dvěma parametry. GFBM rozšiřuje pojem frakcionálního Brownova pohybu (FBM) a slouží jako model pro procesy vykazující sobě-podobnost a mající po- tenciálně nestacionární přírůstky. Pozornost je věnována klíčovým vlastnostem GFBM, včetně korektnosti jeho definice, autokovarianční funkce, vlastnosti sobě-podobnosti a Hölderovské spojitosti. Ústředním bodem práce je diferencovatelnost trajektorií GFBM. Dokazujeme, že na rozdíl od frak- cionálního Brownova pohybu jsou trajektorie GFBM pro určité hodnoty parametrů dife- rencovatelné. Tato práce mimo jiné poskytuje opravu důkazu nediferencovatelnosti tra- jektorií v hraničním případě, čímž řeší problém nalezený v původním důkazu uvedeném v literatuře.

This thesis investigates the properties of Generalized Fractional Brownian Motion (GFBM), a stochastic process defined via a time-domain stochastic integral representation involving two parameters. GFBM extends the concept of the fractional Brownian motion (FBM) and serves as a model for processes exhibiting self-similarity and potentially non- stationary increments. We analyze key characteristics of GFBM, including the conditions for its definition, calculation of its autocovariance function, examination of its self-similarity properties, and verification of Hölder continuity. A central focus is on the differentiability of GFBM sample paths. We establish that as opposed to fractional Brownian motion, the sam- ple paths of GFBM are differentiable for a certain range of the two parameters and non-differentiable otherwise. Notably, this work provides a corrected proof for the non- differentiability of paths in a boundary case, addressing an issue identified in the original proof presented in the source literature.