Generalized fractional Brownian motion
Zobecněný frakcionální Brownův pohyb
bakalářská práce (OBHÁJENO)

Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/200965Identifikátory
SIS: 274234
Kolekce
- Kvalifikační práce [11606]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Maslowski, Bohdan
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Obecná matematika
Katedra / ústav / klinika
Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Datum obhajoby
23. 6. 2025
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Angličtina
Známka
Výborně
Klíčová slova (česky)
frakcionální Brownův pohyb|Diferencovatelnost, nediferencovatelnost trajektori|Hölderovská spojitost|Gaussovský sobě-podobný proces|Zobecněný frakcionální Brownův pohybKlíčová slova (anglicky)
fractional Brownian motion|Path differentiability, non-differentiability|Hölder continuity|Gaussian self-similar process|Generalized fractional Brownian motionTato bakalářská práce se zabývá vlastnostmi zobecněného frakcionálního Brownova pohybu (GFBM), což je stochastický proces definovaný pomocí časové stochastické inte- grální reprezentace se dvěma parametry. GFBM rozšiřuje pojem frakcionálního Brownova pohybu (FBM) a slouží jako model pro procesy vykazující sobě-podobnost a mající po- tenciálně nestacionární přírůstky. Pozornost je věnována klíčovým vlastnostem GFBM, včetně korektnosti jeho definice, autokovarianční funkce, vlastnosti sobě-podobnosti a Hölderovské spojitosti. Ústředním bodem práce je diferencovatelnost trajektorií GFBM. Dokazujeme, že na rozdíl od frak- cionálního Brownova pohybu jsou trajektorie GFBM pro určité hodnoty parametrů dife- rencovatelné. Tato práce mimo jiné poskytuje opravu důkazu nediferencovatelnosti tra- jektorií v hraničním případě, čímž řeší problém nalezený v původním důkazu uvedeném v literatuře.
This thesis investigates the properties of Generalized Fractional Brownian Motion (GFBM), a stochastic process defined via a time-domain stochastic integral representation involving two parameters. GFBM extends the concept of the fractional Brownian motion (FBM) and serves as a model for processes exhibiting self-similarity and potentially non- stationary increments. We analyze key characteristics of GFBM, including the conditions for its definition, calculation of its autocovariance function, examination of its self-similarity properties, and verification of Hölder continuity. A central focus is on the differentiability of GFBM sample paths. We establish that as opposed to fractional Brownian motion, the sam- ple paths of GFBM are differentiable for a certain range of the two parameters and non-differentiable otherwise. Notably, this work provides a corrected proof for the non- differentiability of paths in a boundary case, addressing an issue identified in the original proof presented in the source literature.