Time-periodic weak solutions for fluid-structure interactions

Abstract

disertační práce Tato disertační práce je věnována studiu časově periodických slabých řešení pro třídu systémů, které modelují interakci nestlačitelné newtonovské tekutiny Navierova-Stokesova typu s pružnou membránou (deskou/plášťem) Koiterova typu. Práce se skládá ze tří hlavních výsledků. V případě elastických desek dokazujeme existenci alespoň jednoho periodického řešení, když je elastická Koiterova energie buď v obecném tvaru (nelineární), a také pro linearizovaný Koiterův model. V případě pružné skořepiny dokazujeme stejný výsledek, ale omezený na linearizovaný Koi- terův energetický model. Zde zavedeme okrajovou podmínku přítoku/odtoku. Existence řešení je zaručena, jakmile síly nebo okrajové podmínky, které vedou dynamiku systému, mají dostatečně malou velikost L2 . Poskytujeme nové jednotné v čase odhady pro energii systému a konstruujeme vhodné operátory rozšíření bez divergence přizpůsobené pro pohyb v časových oblastech, které by mohly být předmětem nezávislého zájmu. 1

of the doctoral thesis The present doctoral thesis is devoted to the study of time-periodic weak solutions for a class of systems which models the interaction of an incompressible, Newtonian fluid of Navier-Stokes type with an elastic membrane (plate/shell) of Koiter type. The thesis consists of three main results. In the case of elastic plates we prove the existence of at least one periodic solution when the elastic Koiter energy is either in general form (nonlinear) and also for a linearized Koiter model. In the case of elastic shells we prove the same result but restricted to the linearized Koiter energy model. Here we impose an inflow/outflow boundary condition. The existence of solutions is guaranteed once the forces or the boundary conditions that lead the dynamics of the system are of sufficiently small L2 magnitude. We provide new uniform in time estimates for the energy of the system, and we construct suitable divergence-free extension operators adapted for moving in time domains which might be of independent interest. 1