Maximal noncompactness of operators and embeddings

Abstract

We will focus on studying the ball measure of non-compactness α(T) for various particular instances of embedding operators in sequence spaces. Our first main goal is to find necessary and sufficient conditions for an identity operator to be maximally non-compact. Next, we will focus on studying Lorentz sequence spaces ℓp,q and their basic properties. We will characterize the inclusions between Lorentz sequence spaces depending on the values of p and q. Then we will try to determine exact values of the norms of the identity operators between these embedded spaces. Lastly, we will determine whether these identity operators are maximally non-compact by using our general theorems. 1

Zaměříme se na studium míry nekompaktnosti α(T) na různých případech operá- torů vnoření v prostorech posloupností. Naším prvním hlavním cílem je najít nutné a postačující podmínky pro to, aby byl operátor vnoření maximálně nekompaktní. Dále se zaměříme na studium Lorentzových prostorů posloupnostních ℓp,q a jejich základních vlastností. Charakterizujeme inkluze mezi Lorentzovými prostory posloupnostní v závis- losti na hodnotách p a q. Poté se pokusíme určit přesné hodnoty operátorové normy vnoření mezi těmito prostory. Nakonec pomocí našich obecných tvrzení určíme, zda jsou tyto operátory vnoření maximálně nekompaktní. 1