Quantum Graphs and Their Generalïzations

Abstract

V předkládané práci studujeme spektrální a rezonanční vlastnosti kvantových grafů. Nejdříve uvažujeme grafy, délky jejichž některých hran jsou soudělné. V konkrétních případech studujeme trajektorie rezonancí, které vzniknou porušením poměru délek hran. Dokážeme, že počet rezonancí se při této perturbaci lokálně zachovává. Hlavní část práce se zabývá asymptotikou počtu rezonancí. Najdeme kritérium, jak rozlišit grafy s neweylovskou asymptotikou (konstanta u vedoucího členu je nižší, než se očekává). Navíc vysvětlíme toto neweylovské chování konstrukcí unitárně ekvivalentního grafu. Pokud umístíme graf do magnetického pole, jeho základní charakteristika (weylovskost/neweylovskost) se nezmění. Může se ale změnit "efektivní velikost" neweylovského grafu. V poslední části práce popíšeme ekvivalenci mezi radiálními stromovými grafy a množinou hamiltoniánů na polopřímkách. Tento výsledek využijeme pro důkaz absence absolutně spojitého spektra pro širokou třídu řídkých stromových grafů.

In the present theses we study spectral and resonance properties of quantum graphs. First, we consider graphs with rationally related lengths of the edges. In particular examples we study trajectories of resonances which arise if the ratio of the lengths of the edges is perturbed. We prove that the number of resonances under this perturbation is locally conserved. The main part is devoted to asymptotics of the number of resonances. We find a criterion how to distinguish graphs with non-Weyl asymptotics (i.e. constant in the leading term is smaller than expected). Furthermore, due to explicit construction of unitary equivalent operators we explain the non-Weyl behaviour. If the graph is placed into a magnetic field, the Weyl/non-Weyl characteristic of asymptotical behaviour does not change. On the other hand, one can turn a non-Weyl graph into another non-Weyl graph with different "effective size". In the final part of the theses, we describe equivalence between radial tree graphs and the set of halfline Hamiltonians and use this result for proving the absence of the absolutely continuous spectra for a class of sparse tree graphs.