Löwenheim-Skolem theorems without restrictions on the size of the language

Abstract

Tato práce zkoumá, do jaké míry dokáží prvořádové teorie ovládat mo- hutnosti svých modelů. Zejména analyzujeme Löwenheim-Skolemovy věty a jejich zobecnění. Tyto klasické výsledky ukazují, že prvořádové teorie nejsou schopny shora omezit velikosti svých nekonečných modelů. Rabin-Keislerova věta ukazuje, že za určitých předpokladů lze zlepšit dolní hranici velikosti el- ementárních rozšíření. Hlavním výsledkem práce je detailní rozpracování Meklerovy věty, která navazuje na základ položený Rabinem a Keislerem, a ukazuje, že určité prvořádové teorie mohou kontrolovat mohutnosti svých modelů v daném rozsahu.

This thesis investigates the limitations of first-order theories in controlling the cardinalities of its models. In particular, we analyse the Löwenheim- Skolem theorems and their generalisations. These classical results highlight the inability of first-order theories to impose upper bounds on the sizes of infinite models. The Rabin-Keisler theorem is examined as a refinement, showing that under specific assumptions, the lower bounds on the sizes of elementary extensions can be improved. The main result of the thesis is a detailed presentation of Mekler's theorem, which builds on the framework established by Rabin and Keisler and demonstrates that certain first-order theories can control model cardinalities within a prescribed range.