Mohutnost kontinua a pokrývací problémy v eukleidovské rovině

Abstract

Práce vychází z článků P. Komjátha a J. Schmerla, které se zabývají vztahem mezi mohutností kontinua a možností pokrytí eukleidovského prostoru Rd (d > 1) konečně mnoha tzv. mraky. V práci se nejprve dokazuje Kuratowského věta o charakterizaci alefů, která se následně použije pro omezení mohutnosti kontinua, pokud existuje pokrytí Rd konečně mnoha mraky. V další části práce definuje tzv. objekty zájmu, které využije k důkazu opačné implikace, že omezení mohutnosti kontinua implikuje možnost pokrytí eukleidovského prostoru konečně mnoha mraky. Objekty zájmu umožňují přenesení to- hoto výsledku i na další podobně definované množiny jako jsou např. trsy. V poslední kapitole dává práce negativní odpověď na možnost zobecnění této věty i na spočetná nekonečná pokrytí; pokrytí prostoru Rd spočetně mnoha mraky je možné zkonstruovat vždy bez ohledu na mohutnost kontinua.

The thesis is based on papers by P. Komjáth and J. Schmerl where they discuss relation between cardinality of continuum and the possibility of covering Euclidean space Rd (d > 1) with special sets - clouds. The thesis begins by proving Kuratowski's characterization of alephs which is then used to show that covering Rd by finitely many clouds yields a bound on the cardinality of continuum. The next chapter defines objects of interest which are then used to show that covering of the Euclidean space Rd with finitely many clouds is possible if the cardinality of continuum is bounded. The use of the objects of interest allows us to apply the results for simmilarly defined sets such as sprays. The last chapter shows that a generalization of these results to countably infinite coverings is impossible. The Euclidean space Rd can be always covered by countably many clouds regardless of the cardinality of continuum.