Bifurcation analysis of viscoelastic flows using deflation method

Abstract

This work concerns numerical bifurcation analysis of viscoelastic fluids using the de- flated continuation method. First, we address numerical difficulties (detection of spuri- ous steady-state solutions) associated with a straightforward discretisation of the equa- tions using the finite element method, and we propose how to overcome them using the logarithm reformulation with the DEVSS-TG/SUPG stabilisation. After that, we study symmetry-breaking bifurcations of two types of viscoelastic fluids (FENE-CR and Giesekus models) in two planar problems (cross-slot and sudden expansion geometries). While the cross-slot flow problem serves as a benchmark to confirm the viability of the de- flated continuation approach, for the sudden expansion flow problem, we have observed that the elasticity in a fluid can also cause the onset of bifurcations at smaller Reynolds numbers. Specifically, as the Reynolds number gradually increases, bifurcations occur first in the Giesekus fluid flows, then in the Newtonian fluid flows, and lastly in the FENE-CR fluid flows.

Tato práce se zabývá numerickou analýzou bifurkací viskoelastických tekutin pomocí metody deflated continuation. Nejprve se zabýváme numerickými obtížemi (detekce fa- lešných stacionárních řešení) spojenými s přímočarou diskretizací rovnic pomocí metody konečných prvků a navrhneme, jak je překonat pomocí logaritmické reformulace se sta- bilizací DEVSS-TG/SUPG. Následně studujeme symetrii porušující bifurkace dvou typů viskoelastických tekutin (FENE-CR a Giesekus modely) ve dvou rovinných problémech (geometrie příčné štěrbiny a náhlé expanze). Zatímco problém příčného proudění slouží jako benchmark pro potvrzení použitelnosti přístupu deflated continuation, u problému expanzního proudění jsme pozorovali, že elasticita v tekutině může způsobit vznik bifur- kací i při menších Reynoldsových číslech. Konkrétně s postupným zvyšováním Reynold- sova čísla dochází k bifurkacím nejprve v proudění Giesekovy kapaliny, poté v proudění Newtonovské kapaliny a nakonec v proudění kapaliny FENE-CR.