Invariants of persistence modules defined by order-embeddings

Abstract

Algebraická topologie se zabývá studiem algebraických vlastností geometrických objektů. Jedním z jejích hlavních nástrojů je funktor k-homologie, který popisuje počet (k + 1)-dimenzionálních "děr". Když pak budeme mít několik topologických prostorů (které budou mít jako celek strukturu částečně uspořádané množiny), můžeme aplikovat homologii na každý z nich. Tímto způsobem získáme hlavní předmět našeho zájmu - modul persistence, což je funktor z kategorie částečně uspořádané množiny do kategorie vektorových prostorů. Případ, kdy máme totálně uspořádanou množinu je poměrně snadný a proto se budeme zabývat složitějším případem dvoudimenzionální částečně uspořádané množiny reálných čísel. Tam využijeme vnoření uspořádání a exaktní struktury, abychom zadefinovali nový invariant. Pro důkaz jeho numerické stability využijeme teorii homologické algebry.

Algebraic topology studies algebraic properties of geometric objects. One of its main tools is the k-homology functor, which describes the number of (k + 1)-dimensional "holes". Then, if we take a sequence of topological spaces (where the sequence has a poset structure), we can apply the homology to each of them. This method produces the main object of our study - a persistence module, which is a functor from a poset category to the category of vector spaces. The case of a totally ordered set is quite simple a thus we turn our focus to a more complicated case of 2-dimensional poset of real numbers. There, we will use poset embeddings and exact structures to define a new invariant. To prove its numerical stability we will use the theory of homological algebra.