Ultrafilter monads for general structures

Abstract

Ultrafiltry na množinách hluboce souvisí s kompaktností v topologii a s elementár- ními rozšířeními v logice. Pomocí alternativního popisu ultrafiltrů vzešlého z kodensity monád zobecníme monádu ultrafiltrů do kategorií prvořádových struktur. Tato monáda je parametrizována volbou třídy malých struktur, což typicky jsou konečné struktury. Takto umíme "rozšířit" strukturu aproximací podle formulí platných v malých struktu- rách. V situaci, kdy malé struktury jsou konečné, mají algebry nad monádou ultrafiltrů přirozenou kompaktní Hausdorfovu topologii. Tímto způsobem sjednotíme známé popisy kompaktních Hausdorfových prostorů a kompaktních uspořádaných prostorů jakožto al- geber nad monádou. Aplikací podobného principu získáme nový popis Čechovy-Stoneovy kompaktifikace.

Ultrafilters on sets are deeply related to compactness in topology and to elementary extensions in logic. Using an alternative description of ultrafilters arising from codensity monads we generalize the ultrafilter monad to categories of first order structures. This monad is parametrised by a choice of a class of small structures, typically the finite structures. This way for a structure we produce an "extension" approximating it in terms of formulas valid in the small structures. When small means finite, algebras over this monad admit a natural compact Hausdorff topology. This approach unifies the descriptions of compact Hausdorff spaces and compact pospaces as algebras over a monad. Applying the same method to the category of topological spaces we get a new description of the Čech-Stone compactification.