Congruent numbers, elliptic curves, and L-functions
Kongruentní čísla, eliptické křivky a L-funkce
bachelor thesis (DEFENDED)
![Document thumbnail](/bitstream/handle/20.500.11956/191449/thumbnail.png?sequence=7&isAllowed=y)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/191449Identifiers
Study Information System: 268539
Collections
- Kvalifikační práce [10925]
Author
Advisor
Consultant
Gajović, Stevan
Referee
Příhoda, Pavel
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
General Mathematics
Department
Department of Algebra
Date of defense
19. 6. 2024
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
English
Grade
Excellent
Keywords (Czech)
kongruentní čísla|eliptické křivky|Zeta-funkce|L-funkceKeywords (English)
congruent numbers|elliptic curves|Zeta-functions|L-functionsHlavním cílem této práce je propojení výsledků týkající se problému kon- gruentních čísel. Nejprve zadefinujeme pojmy kongruentních čísel a eliptických křivek, které z tohoto problému přirozeně vyplývají. Následně zadefinujeme op- eraci sčítání bodů na eliptické křivce a ukážeme, že tato operace tvoří strukturu abelovské grupy na množině těchto bodů. Poté se zaměříme na eliptické křivky a jejich grupy definované nad konečnými tělesy abychom získaly nový pohled do problému kongruentních čísel. Díky němu později definujeme Zeta-funkce a L- funkce. Ke konci bude prezentován souvislost mezi vlastností být kongruentním číslem a hodností korespondující eliptické křivky, což bude využito v klasifikaci několika prvních kongruentních čísel. 1
The main goal of this thesis is to connect the ideas surrounding the congruent number problem. At first we define congruent numbers and elliptic curves which naturally emerge from this problem. We then define the addition law on points lying on such curves and show that it actually defines an abelian group structure on the set of those points. We then focus on the study of elliptic curves and their groups over finite fields to give us new insight on the congruent number problem. With this we then later define Zeta-functions and L-functions. At the end we see a connection between the property of being a congruent number and the rank of the corresponding elliptic curve which is then used to classify first few congruent and non-congruent numbers. 1