Algebraic Tools in Combinatorial Geometry and Topology
Algebraické nástroje v kombinatorické geometrii a topologii
dizertační práce (OBHÁJENO)
![Náhled dokumentu](/bitstream/handle/20.500.11956/188671/thumbnail.png?sequence=8&isAllowed=y)
Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/188671Identifikátory
SIS: 212699
Kolekce
- Kvalifikační práce [10925]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Benedetti, Bruno
Holmsen, Andreas
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Informatika - teorie, diskrétní modely a optimalizace
Katedra / ústav / klinika
Katedra aplikované matematiky
Datum obhajoby
28. 2. 2024
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Angličtina
Známka
Prospěl/a
Klíčová slova (česky)
kombinatorika|topologie|geometrie|komutativní algebra|homologická algebra|Stanley-Reisnerův okruh|těžká Lefschetzova větaKlíčová slova (anglicky)
Combinatorics|Topology|Geometry|Commutative Algebra|Homological Algebra|Stanley-Reisner Ring|Hard Lefschetz TheoremV této práci se zabýváme kombinatorickými problémy optikou Grassmanovy alge- bry. Tato algebra je přirozenou matematickou strukturou pro modelování množinových systémů i simpliciálních komplexů. Umožňuje navíc převést operace z kombinatorických struktur do Grassmanovy algebry. Například operace jako množinový průnik nebo stan- dardní hraniční operátor z topologie. To nám často umožňují převést kombinatorický problém na problém týkající se dimenze určitého vektorového prostoru, což se může uká- zat jako jednodušší přístup, protože poté můžeme zkoumat dimenzi vektorového prostoru pomocí lineárních zobrazení. Takový přístup uplatňujeme i v této práci. V první části zkoumáme problém slabé saturace, který zavedl Bollobás v 60. letech. Jedná se o následující problém. Pro zadaný "hostitelský" graf F a "vzorový" graf H je potřeba určit minimální počet "nakažených" hran grafu F, se kterými je třeba začít, aby se infekce rozšířila na celý hostitelský graf F podle vzorového grafu H. Konkrétně nás zajímá případ, kdy hostitelské i vzorové grafy jsou úplné uniformní multipartitní hypergrafy. Dále se zabýváme zobecněním Hellyho věty, která se týká průsečíkových struktur kon- vexních množin. Konkrétně se ptáme na následující otázku. Je-li zadán konečný systém konvexních množin v Rd rozdělených do d+1 tříd barev tak, že...
In this thesis we study combinatorial problems through the lenses of the exterior alge- bra. This algebra is a natural object to model set systems as well as simplicial complexes. Moreover, it is possible to translate the classical operations from the combinatorial set- ting to the setting of exterior algebra. For example, set intersection and the classical boundary map from topology. Often this point of view makes it possible to translate the combinatorial problem to a problem regarding the dimension of certain vector space. The latter one might turn up to be easier since we can study the dimension of a vector space with linear maps. We follow such approach in this thesis. In the first part we study the weak saturation problem introduced by Bollobás in the 60's. This problem consists in, given a host graph F and a pattern graph H, to determine the minimum number of infected edges of F one has to start with in order for the infection to spread, according to the pattern H, to the whole host graph F. We study this problem when the host and the pattern are complete uniform multipartite hypergraphs. Next, we work on a generalization of a theorem by Helly regarding intersecting pat- terns of convex sets. Concretely, given a finite family of convex sets in Rd partitioned into d + 1 colors classes such that a...
Citace dokumentu
Metadata
Zobrazit celý záznamSouvisející záznamy
Zobrazují se záznamy příbuzné na základě názvu, autora a předmětu.
-
The Number of Homomorphisms to a Fixed Algebra
Výsledek obhajoby: OBHÁJENOKapytka, Maryia (Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, 2021)Datum obhajoby: 8. 7. 2021V této práci dáváme částečnou odpověd' na následující otázku: Pro které pevné konečné algebry A je počet homomorfismů z podobné algebry X do A shora omezen poly- nomem proměnné |X|? Práce je rozdělena do dvou částí: ... -
Stavy na algebrách
Výsledek obhajoby: UZNÁNOŠtěpánová, Martina (Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, 2011)Datum obhajoby: 3. 11. 2011Stavy na algebrách Abstrakt: Stavy jsou speciálními případy zobrazení do množiny reálných čísel. V práci představíme stavy na uspořádaných abelovských grupách, MV-algebrách, GMV-algebrách a komutativních DRl-mo- noidech. ... -
Modules over string algebras
Výsledek obhajoby: OBHÁJENOLöwit, Jakub (Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, 2019)Datum obhajoby: 21. 6. 2019Cı́lem této práce je prozkoumat kategorie modulůnad takzvanými řetězcovými algebrami. Přitom se předevšı́m budeme soustředit na porozuměnı́ kotorznı́m párům v těchto kategoriı́ch, jejichž pochopenı́ se ...