Stochastic Equations with Correlated Noise and Their Applications
Stochastické rovnice s korelovaným šumem a jejich aplikace
dissertation thesis (DEFENDED)
![Document thumbnail](/bitstream/handle/20.500.11956/186997/thumbnail.png?sequence=8&isAllowed=y)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/186997Identifiers
Study Information System: 164502
Collections
- Kvalifikační práce [10925]
Author
Advisor
Referee
Peszat, Szymon
Hlubinka, Daniel
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
Probability and statistics, econometrics and financial mathematics
Department
Department of Probability and Mathematical Statistics
Date of defense
26. 9. 2023
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
English
Grade
Pass
Keywords (Czech)
Lévyho procesy|Invariantní míry|Stochastická aproximace|Lévyho stochastické diferenciální rovniceKeywords (English)
Lévy-driven Stochastic Differential Equation|Lévy processes|Invariant measures|Stochastic Approximation ProceduresStochastické rovnice s korelovaným šumem a jejich aplikace Ondřej Týbl Dizertační práce Abstrakt Vlastnosti stochastických diferenciálních rovnic se skoky jsou stu- dovány. Ljapunovské metody pro posouzení vlastností řešení pro velké časy jsou odvozeny a obecné výsledky jsou aplikovaný v konkrétních případech. Zaprvé, podmínky pro stability v řeči omezenosti v pravděpodobnosti v průměru jsou vysloveny za pomocí geometrických vlastností koeficientů. Pomocí Krylovovy- Bogoljubovy věty je následně získáno kritérium pro existenci invariantní míry. V druhém případě jsou vlastnosti řešení ve velkých časech studovány ve spojitosti s konvergencí skoro jistě k deterministickému bodu v prostoru, který nezávisí na počáteční podmínce. Aplikací tohoto výsledku získáme proceduru stochastické aproximace Robbinsova-Monrova typu ve spojitém čase pro odhad kořenu dané funkce. 1
Stochastic Equations with Correlated Noise and Their Applications Ondřej Týbl Doctoral Thesis Abstract Properties of stochastic differential equations with jumps are stud- ied. Lyapunov-type methods are derived to assess long-time behavior of solu- tions and general results are applied in specific cases. In the first case, conditions in terms of the geometric properties of the coefficients for stability in terms of boundedness in probability in the mean are obtained. By means of Krylov Bogolyubov Theorem criterion for existence of invariant measures is given sub- sequentely. In the second case, the long-time behavior refers to existence of an almost sure single-point limit not depending on the initial condition. This result is then applied to get a continuous-time Robbins-Monro type stochastic approximation procedure for finding roots of a given function. 1