Struktura zobecněných Pythagorejských trojic
The structure of generalized Pythagorean triples
bachelor thesis (DEFENDED)
![Document thumbnail](/bitstream/handle/20.500.11956/182997/thumbnail.png?sequence=7&isAllowed=y)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/182997Identifiers
Study Information System: 257019
Collections
- Kvalifikační práce [10925]
Author
Advisor
Referee
Krásenský, Jakub
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
General Mathematics
Department
Department of Algebra
Date of defense
28. 6. 2023
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
Czech
Grade
Very good
Keywords (Czech)
zovšeobecnené pytagorejské trojice|diofantické rivnice|číselné teleso|okruh celistvých prvkov číselného telesa|ideálová triedna grupaKeywords (English)
generalized Phytagorean triples|diophantine equation|number field|set of algebraic integers of number field|ideal class groupHlavnou motiváciou pre našu prácu je popísanie zovšeobecnených pytagorejských tro- jíc. Tento problém prevedieme na problém hľadania riešenia rovnice |x2 + Dy2 | = z2 . Cieľom tejto práce je podrobne dokázať štruktúru a počet riešení rovnice |x2 +Dy2 | = z2 pre −D ≡ 2, 3 (mod 4) bezštvorcové. Dôkazy čiastkových lem budeme robiť v ideálovej triednej grupe číselného telesa Q[ √ −D]. Najprv dokážeme lemu, ktorá nám dá nevy- hnutné podmienky pre existenciu riešenia. Popíšeme súvislosť jednoznačnosti, respektíve nejednoznačnosti riešenia a voľby D. Kľúčovým krokom dôkazu je vyjadrenie riešenia v špeciálnom tvare. Zároveň uvedieme príklady štruktúr ideálových triednych grup pre rôzne číselné telesá. 1
The motivation for our thesis is to describe generalized of Phytagorean triples. We convert this problem into the problem of finding a solution of the equation |x2 +Dy2 | = z2 . The goal of this thesis is to prove in detail the structure and the number of solutions of the equation |x2 + Dy2 | = z2 for −D ≡ 2, 3 (mod 4) and square-free. The proofs of lemmas are proved by using properties of ideal class group of number field Q[ √ −D]. We first prove a lemma that gives us the necessary conditions for the existence of a solution. We describe the connection between uniqueness, respectively ambiguity of the solution and the choice of D. The most important step of the proof is to express the solution in a special form. We also give examples of structure of ideal class group of various number fields. 1