Cyklotomická rozšíření a Kronecker-Weberova věta

Abstract

In the thesis, we prove the Kronecker-Weber theorem, which states that every abelian extension of the field of rational numbers is a subfield of some cyclotomic field. This theorem is traditionally proved using class field theory, but we will use an alternative relatively elementary proof using Galois theory and algebraic number theory. We will first introduce the necessary theory and show the new definitions with an example. The key part of the whole proof will be to prove the Kronecker-Weber theorem for abelian expansions of prime power degree, where only this prime ramifies. Then, we can prove relatively easily that the theorem holds for general abelian extensions. 1

V této práci dokážeme Kronecker-Weberovu větu, která říká, že každé abelovské roz- šíření tělesa racionálních čísel je podtělesem nějakého cyklotomického tělesa. Tato věta se tradičně dokazuje pomocí teorie třídových těles, ale my zpracujeme alternativní relativně elementární důkaz využívající Galoisovu teorii a algebraickou teorii čísel. Zavedeme nej- prve potřebnou teorii a nové pojmy ukážeme na příkladu. Klíčovou částí celého důkazu bude dokázat, že Kronecker-Weberova věta platí pro abelovská rozšíření stupně mocniny prvočísla, kde se větví jen toto prvočíslo. Z toho pak už relativně snadno dokážeme, že pak platí věta pro obecná abelovská rozšíření. 1