Stabilita nenormálních úloh

Abstract

Cílem práce bylo vyšetřit globální chování řešení konkrétního systému ne- lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. V práci jsme se nejprve zabývali základními vlastnostmi řešení, tj. existencí, jednoznačností a definičním oborem maximálních řešení. Dále jsme nalezli stacionární řešení a užitím známých vět rozhodli o jejich stabilitě a typu. Poté jsme dokázali existenci pozitivně invari- antní množiny obsahující počátek, která nám umožní vyšetřovat globální chování řešení daného systému. Pomocí věty o stabilní a nestabilní varietě a opakovaným použitím vhodných vět z Poincaré-Bendixsonovy teorie jsme následně určili cel- kový tvar jednotlivých variet. Získané výsledky nám umožnily popsat globální chování libovolného řešení, přičemž jsme ukázali, že stabilní variety nestabilních ekvilibrií rozdělí rovinu na tři množiny tak, že každá množina bude globálním atraktorem konkrétního stabilního ekvilibria. 1

The goal of this thesis was to examine global behaviour of solutions of a particular non-linear system of ordinary differential equations. Firstly, we focused on the basic properties of solutions, i.e., existence, uniqueness and the domain of maximal solutions. Further we found equilibria and by using known theorems we discussed their stability and types. Then we proved the existence of a positively invariant set containing origin which allowed us to examine global behaviour of solutions of the given system. By using the stable and unstable manifold theorem and by repetitive usage of appropriate theorems from the Poincaré-Bendixson theory we analyzed the manifolds completely. Obtained results allowed us to characterize global behaviour of an arbitrary solution. We showed that stable manifolds of unstable equilibria divide plane into three sets in such way that each set is a global attractor of a particular equilibrium. 1