Noise-induced transitions in nonlinear dynamics of stochastic systems.

Abstract

V této bakalářské práci se soustředíme na studium jednodimenzionální difúze v náhodném potenciálu, který je dán dichotomickým šumem s obecnými parametry. V [5] bylo ukázáno, že tento problém má velmi blízko studiu stochastické Riccatiho rovnice. Ve stejném článku bylo nalezeno řešení pro difúzi na polopřímce za pomoci Chapman-Kolmogorovy rovnice. Abychom jsme se přiblížili k řešení i pro konečný interval, přistoupíme k tomuto problému za pomoci metody Carlemanovy linearizace. Odvodíme vztah pro momenty řešení Riccatiho rovnice v Laplacovském obrazu, který má tvar maticového elementu matice nekonečné dimenze. Tento maticový element se pokusíme vypočíst v limitě difúze na polopřímce a v limitě nekonečného času, ale zjistíme, že výsledek se neshoduje s předpovědí numerické simulace. Dále se zabýváme numerickou simulací Riccatiho rovnice za pomoci metody Monte Carlo. Správnost simulací je ověřena srovnáním s analytickými výsledky získaných pomocí Chapman-Kolmogorovy rovnice.

In this thesis we focuse on one-dimensional diffusion in a random potential given by the general Markov dichotomous process. It was shown in [5] that this problem is closely related to the study of the stochastic Riccati equation. Using Kolmogorov forward equation we have a solution in the case of a semi-infinite interval. In order to overcome the restriction of a semi- infinite interval we present an approach to solution based on the method of Carleman embedding. We give an expression for the moments in the Laplace domain in terms of an infinite-dimensional matrix element and we try to evaluate it in the limit of infinite time and semi-infinite interval. However we find a discrepancy between our result, numerical simulation and different theoretical approach to the same problem. We also develop Monte Carlo simulations of the Riccati equations and we compare them to analytical results.