Classical Lorentz sequence spaces

Abstract

Hlavním cílem této práce je zformulovat základní vlastnosti klasických Lorent- zových prostorů posloupností, které, na rozdíl od Lorentzových prostorů funkcí, nebyly prozatím studovány. Nejdříve budeme uvažovat posloupnost a zadefin- ujeme si její nerostoucí přerovnání. Dále je definován její Lorentzův normový funkcionál a prostory indukované těmito fnukcionály. Následně jsou zformulovány nutné a postačující podmínky pro to, aby tento funkcionál byl normou, případně kvazinormou, a nakonec bylo dokázáno, že kvazinormabilita je ekvivalentní lin- earitě prostoru, tedy uzavřenosti na součet a násobení skalárem. 1

The main goal of this work is to formulate some basic properties of the clas- sical Lorentz sequence spaces, which, unlike Lorentz function spaces, were not widely studied before. First a sequence is taken and its decreasing rearrangement is defined, then we proceed by defining it's Lorentz norm functional and spaces generated by it. Afterwards a necessary and sufficient condition for the func- tional in question to be a norm is formulated, which is followed by an equivalent condition for it to be a quasinorm and finally we prove that quasinormability is equivalent to the space being linear, that means, closed under addition and multiplication by a scalar. 1