Regular version of conditional probability

Abstract

Predložená práca sa zaoberá existenciou regulárnych podmienených pravdepodob- ností (RCPP), pričom sa zameriava na niekoľko odlišných formulácií. Najskôr ukážeme, že pravdepodobnostné priestory založené na úplných separabilných metrických priesto- roch so svojimi borelovskými sigma-algebrami spĺňajú všetky RCPP's, a to pomocou konštrukcie jadra z pre-jadra. Následne zavádzame pojem perfektného pravdepodobnost- ného priestoru a dokazujeme, že perfektnosť je nevyhnutnou podmienkou pre takzvanú D-podielovú RCPP. Tento pojem ďalej využívame na preskúmanie vzťahu medzi pod- poľovou a podielovou RCPP. Napokon uvádzame protipríklad priestoru, ktorý nespĺňa RCPP's, a jeho správnosť overujeme nielen priamo, ale aj prostredníctvom podmienky perfektnosti. V rámci tejto konštrukcie tiež dokazujeme existenciu maximálne nemerateľ- nej množiny.

This thesis investigates the existence of regular conditional probabilities (RCPP's), focusing on several distinct formulations. First, we show that probability spaces built on complete separable metric spaces, equipped with their Borel sigma-algebras, satisfy all RCPP's using construction of a kernel from a pre-kernel. We then introduce the concept of perfect probability spaces and show that perfection is a necessary condition for the so- called D-quotient RCPP. Using this concept, we further explore the relationship between subfield and quotient RCPP's. Finally, we present a counterexample of a space that lacks the RCPP's and verify its validity both directly and through the perfection condition. As part of this construction, we demonstrate the existence of a maximally non-measurable set.