Stochastic methods in crystallography

Abstract

Představujeme statistickou metodologii pro analýzu a testování závislostí mezi krys- talografickými orientacemi v polykrystalických materiálech. Motivováni aplikacemi v materiálovém výzkumu se zabýváme problémem testování párové nezávislosti v r-ticích orientací symetrických objektů ve trojrozměrném prostoru. Navrhujeme novou míru ko- variance mezi náhodnými orientacemi a konstruujeme vícerozměrné asymptotické testy párové nezávislosti založené na U-statistikách. Účinnost těchto testů ověřujeme po- mocí simulační studie na různých modelech. Dále představujeme obecnou metodologii pro modelování rozdělení orientací zrn v polykrystalických mikrostrukturách, které jsou reprezentovány trojrozměrnými Laguerrovými mozaikami. Zavádíme stochastické inter- akční modely podmíněné danou mozaikou, které zachycují závislosti mezi orientacemi sousedních zrn. Parametry modelu odhadujeme pomocí metody maximální pseudověro- hodnosti a vhodnost modelu hodnotíme pomocí simulačních grafických nástrojů. Navrže- nou metodologii aplikujeme na data reprezentující slitinu niklu a titanu s tvarovou pamětí, čímž demonstrujeme praktický význam statistik orientací pro pochopení chování mater- iálů. 1

We introduce a statistical framework for analyzing and testing dependencies among crystallographic orientations in polycrystalline materials. Motivated by applications in materials science, we address the problem of testing pairwise independence within r-tuples of orientations of symmetric objects in three-dimensional space. We propose a novel co- variance measure between random orientations and construct multivariate asymptotic tests for pairwise independence based on U-statistics. The performance of these tests is assessed through simulation studies under various models. Complementing this, we present a general methodology for modelling the distribution of grain orientations in polycrystalline microstructures represented by three-dimensional Laguerre tessellations. Conditional on the tessellation, we introduce stochastic interaction models that capture dependencies between neighbouring grain orientations. Model parameters are estimated via maximum pseudolikelihood and model adequacy is evaluated using simulation-based graphical tools. The proposed methodology is applied for analyzing a dataset repre- senting a nickel-titanium shape memory alloy, demonstrating the practical relevance for understanding material behaviour through orientation statistics. 1