Haarove systémy

Abstract

Základním obecným cílem teorie aproximací je nahrazení komplikovaných objektů ji- nými, které jsou v určitém smyslu blízké a s nimiž přitom zároveň lze snáze pracovat. Standardní metodou je aproximace spojité funkce pomocí polynomu. Rozšířením této me- tody na další typy funkcí získáváme aproximaci pomocí zobecněných polynomů. Klasický Haarův výsledek z roku 1917 uvádí, že existence a jednoznačnost nejlepší aproximace spo- jité funkce na kompaktu pomocí zobecněných polynomů je ekvivalentní splnění Haarovy podmínky. V této práci ukážeme několik ekvivalentních formulací Haarovy podmínky a ilustrujeme jejich výhody na příkladech. Připomeneme důležitou aplikaci Haarových pod- mínek, takzvanou alternační větu, a uvedeme její použití. Na závěr dokážeme základní vlastnosti operátoru nejlepší aproximace.

One of the principal general onjectives of the approximation theory is a replacement of a complicated mathematical object by another one, which, in a certain sense, is close to given one, and, at the same time, is easier to handle. One of the standard methods of this theory is the approximation of a continuous function by a polynomial. An exten- sion of this method to more general classes of functions leads to approximation by the generalized polynomials. A classical result of Haar of 1917 states that the existence and unicity of an element of best approximation is equivalent to the validity of the so-called Haar condition. In this thesis we shall present several equivalent formulations of the Haar condition and illustrate some of its possible applications with examples. We recall one important application of the Haar condition, the alternation theorem, and demon- strate its usefulness. Finally, we establish basic properties of the operator of the best approximation.