Dilation of Sets with Finite Perimeter

Abstract

In the first part of this thesis, we will study the relationship between the existence of the classical (isotropic) and anisotropic outer Minkowski content of a given set of finite perimeter. Our result is that the Minkowski content of the topological boundary of a given set of finite perimeter E coincides with the perimeter of E if and only if the anisotropic Minkowski content of the topological boundary of E coincides with half of the sum of the anisotropic perimeter of E and the anisotropic perimeter of the complement of E. In the second part, we will focus on s-dimensional anisotropic Minkowski content and S-content of compact sets. We will also mention the notion of Minkowski dimension and S-dimension. We will prove that the anisotropic volume function is of Kneser type for any convex body of full dimension containing properly the origin and any compact set. 1

V prvé části práce budeme zkoumat vztah mezi existencí klasického (isotropního) a anisotropního vnějšího Minkowského obsahu množiny s konečným perimetrem. Naším výsledkem je, že Minkowského obsah topologické hranice množiny s konečným perimetrem E je roven perimetru E právě tehdy, když je roven anisotropní Minkowského obsah topo- logické hranice E polovině součtu anisotropního perimetru E a anisotropního perimetru doplňku E. V druhé části se zaměříme na s-dimenzionální anisotropní Minkowského obsah a S-obsah kompaktních množin. Též zmíníme pojem Minkowského dimenze a S- dimenze. Dokážeme, že anisotropní objemová funkce je Kneserova typu pro libovolné konvexní těleso obsahující počátek ve svém vnitřku a libovolnou kompaktní množinu. 1