Krátké vektory v celočíselných mřížkách

Abstract

Slavná Minkowského věta říká, že mřížka s malým determinantem musí obsahovat nějaký nenulový krátký vektor. V této práci se zaměříme na takzvaný opak Minkowského věty, totiž budeme odhadovat horní mez na počet krátkých vektorů v mřížkách. Tu nej- prve stanovíme pro vektory normy nejvýše k pro jakékoli přirozené číslo k. Podobnou úvahou dojdeme k odhadu pro mřížky v komplexním prostoru a oba získané výsledky porovnáme. Dále si zavedeme klasifikaci kořenových systémů. Pomocí této klasifikace zpřesníme horní mez pro počet vektorů s normou nejvýše 2, což nám dá dokonce těsnou hranici. Navíc si ukážeme příklady konkrétních mřížek, které této hodnoty nabývají.

The famous Minkowski theorem states that a lattice with a small determinant must contain some non-zero short vector. In this paper, we will focus on the so-called reverse Minkowski theorem, namely, we will estimate an upper bound on the number of short vectors in lattices. We first determine the bound for vectors of norm at most k for any positive integer k. By similar reasoning, we will get an estimate for lattices in complex space and compare both obtained results. Next, we will introduce a classification of root systems. Using this classification, we will refine the upper bound for the number of vectors with norm at most 2, which will even give us a tight bound. In addition, we will show examples of specific lattices that acquire this value.