Density of maximal nonassociativity in quadratic nearfields

Abstract

Kvazigrupa (Q, ·) se nazývá maximálně neasociativní, pokud pro všechny (x, y, z) ∈ Q3 : (x · y) · z = x · (y · z) =⇒ x = y = z. V této práci navazujeme na článek Drá- pala a Lisoňka, Maximal nonassociativity via nearfields, kde autoři dokázali existenci maximálně neasociativních kvazigrup řádů m2 , kde m = 23k r pro k ≥ 0 a r liché. Vychá- zeli z kvazigrup odvozených z kvadratických skorotěles pomocí Steinovy konstrukce a na základě výpočetních výsledků vyslovili domněnku, že asymptotická hustota maximálně neasociativních kvazigrup v takto zkonstruovaných kvazigrupách leží mezi 0,288 a 0,29. S použitím Weilova odhadu potvrdíme tuto domněnku a ukážeme, že tato asymptotická hustota je rovna 37/128 = 0,2890625.

A quasigroup (Q, ·) is called maximally nonassociative if for all (x, y, z) ∈ Q3 : (x · y) · z = x · (y · z) =⇒ x = y = z. In this thesis, we follow up on the article by Drápal and Lisoněk, Maximal nonassociativity via nearfields, where the authors proved the ex- istence of maximally nonassociative quasigroups of orders m2 where m = 23k r for k ≥ 0 and r odd. They worked with quasigroups derived from quadratic nearfields by Stein's construction, and based on computational results, they conjectured that the asymptotic density of maximally nonassociative quasigroups in such quasigroups lies between 0.288 and 0.29. With the Weil bound as our main tool, we confirm their conjecture and show that the asymptotic density is equal to 37/128 = 0.2890625.