On quantitative aspects of symplectic geometry

Abstract

V této práci se zabýváme studiem kvantitativních aspektů čtyřdimenzionálních sym- plektických variet. Nejprve definujeme symplektické a kontaktní variety a ukážeme ně- které jejich zákládní vlastnosti. Dále potom definujeme pseudoholomorfní křivky a na- značíme důkaz Gromovy non-squeezing věty. Následujeme s definicí embedded contact homology a spočítáme ji pro elipsoid. Zbytek práce je o symplektických kapacitách a jed- nom jejich druhu: ECH kapacitách. Poté spočítáme pár príkladů ECH kapacit a ověříme volume conjecture v pár případech. 1

In this thesis we aim to study quantitative aspects of four-dimensional symplectic manifolds. First we define symplectic and contact manifolds and provide some basic properties of them. We then define pseudoholomorphic curves and outline the proof of the Gromov's non-squeezing theorem. We follow with defining the embedded contact homology and computing it on an ellipsoid. The rest of the thesis is about symplectic capacities and one of their kind: ECH capacities. Then we compute a few examples of ECH capacities and verify the volume conjecture in a few cases. 1