Pathwise Stochastic Calculus

Abstract

Tato práce je zaměřena na zavedení stochastického kalkulu po trajektoriích, čehož se dosáhne zavedením konceptu p-té variace trajektorie po specifické posloup- nosti dělení a definováním Föllmerova integrálu jako limity Riemannovských sum přes posloupnost těchto dělení. Studuje se více vlastností p-té variace po posloupnosti dělení a Föllmerova integrálu. Ty zahrnují takzvanou vlastnost izometrie p-té variace po posloup- nosti dělení a Itôovu-Föllmerovu větu pro Föllmerův integrál. Soustředění se pak pře- souvá na zkoumání asociativní vlastnosti Föllmerova integrálu pro libovolné p ∈ 2N. Je ukázáno, že mnoho těchto vlastností se dá také aplikovat na vícerozměrné trajektorie, čehož se poté využije pro aplikace výše zmíněné teorie. Nakonec je představena třída H-sobě-podobných procesů, která obsahuje hodně důležitých náhodných procesů. Skoro všechny trajektorie H-sobě-podobného procesu mají konečnou p-tou variaci po určité posloupnosti dělení. 1

This thesis is focused on establishing a framework for pathwise stochastic calculus which is to be achieved through demonstrating the concept of the p-th variation of a path along a specific sequence of partitions and then defining the Föllmer integral as the limit of Riemann sums through this partition sequence. Many properties of the p-th variation along a sequence of partitions and of the Föllmer integral are studied. This includes the isometry property of the p-th variation along a sequence of partitions and the change of variable formula for Föllmer integrals. Additionally, the focus is shifted to the associative property of the Föllmer integral for an arbitrary p ∈ 2N. It is shown that many of these properties can be extended for multidimensional paths which is subsequently used for some appplications of the aforementioned theory. Finally, a large class of H- self-similar processes containing many important stochastic processes is introduced and shown to have almost every path of finite p-th variation along a specific set of partition sequences. 1