Procesy slabé saturace v multipartitních hypergrafech

Abstract

Given hypergraphs H and P, wsat(H, P) denotes the smallest number of edges in a subgraph of H with the property that the missing edges can be sequentially added such that the addition of every edge creates a new copy of P. In 1985 Alon proved that wsat(Kn, P)/n tends to a finite limit for any graph P. A generalisation of this Theorem to r-uniform hypergraphs was conjectured by Tuza in 1992 and proved by Shapira and Tyomkyn in 2021. In this thesis, we use the methodology introduced by Shapira and Tyomkyn to prove a similar theorem when H is a complete r-partite r- uniform hypergraph.

Dané hypergrafy H a P, wsat(H, P) označuje najmenší počet hrán v podgrafe H s vlastnosťou, že chýbajúce hrany možno postupne pridať tak, že pridanie každej hrany vytvorí novú kópiu P. V roku 1985 Alon dokázal, že wsat(Kn, P)/n konverguje k vlastnej limite pre akýkoľvek graf P. Tuza sa v roku 1992 domnieval, že platí zobecnenie tejto vety pre r-uniformné hypergrafy a dokázali ho Shapira a Tyomkyn v roku 2021. V tejto práci používame metodológiu, ktorú zaviedli Shapira a Tyomkyn, aby sme dokázali podobnuú vetu, v ktorej H je úplný r-partitný r-uniformný hypergraf.