Barvicí invarianty uzlů

Abstract

We can color knots by various finite quandles and check if they have non-trivial coloring. If so, we can say that the knot is not an unknot. However, we will focus on quandles that always give trivial coloring. It will turn out that they have interesting algebraic properties. In this work, we will show that a quandle gives a trivial coloring for each knot if and only if the quandle is reductive, which is exactly when the coloring invariant is Vassiliev's. We will make a similar characterization for links. That is, a quandle gives a trivial coloring for each link if and only if it is a trivial quandle. 1

Uzly můžeme barvit různými konečnými quandly a zjišťovat, zda mají netriviální obarvení. Pokud ano, pak dokážeme říct, že daný uzel není rozvázatelný. V práci se však zaměříme na takové quandly, které vždy dávají triviální barvení. Ukáže se totiž, že mají totiž zajímavé algebraické vlastnosti. V této práci dokážeme, že quandle dává pro každý uzel triviální barvení, právě tehdy když je quandle reduktivní, a to je právě tehdy, když je barvicí invariant Vassilievův. Podobnou charakterizaci provedeme pro linky. Tedy quandle dává triviální barvení pro každý link, právě tehdy když se jedná o triviální quandle. 1