On the lattice of multi-sorted relational clones on a two-element domain

Abstract

In this thesis, we study relational clones on a two-element domain (here- inafter just "relational clones"). Firstly, we provide an alternative, elementary, and purely relational proof of the famous characterization of all (relational) clones published by E. Post in 1941. Secondly, we study the lattice of multi- sorted (relational) clones, providing an alternative proof of its countability - a result originally due to V. Taimanov from 1983, the proof of which was, how- ever, never published in a journal nor translated from Russian until 2022. We also provide an insight into applying the developed ideas to study the 2-sorted clones. We approach the problems mainly using the notion of key relations (and the description thereof) introduced by D. Zhuk in 2017, and the well-known Galois connection between operations and relations. Besides providing alterna- tive proofs of these facts, we establish additional tools to simplify the study of relational clones further.

Tato práce se zabývá relačními klony na dvouprvkové množině (dále jen " relační klony"). Zaprvé poskytujeme alternativní a elementární důkaz slavné charakterizace (relačních) klonů pocházející od E. Posta z roku 1941, přičemž využíváme pouze relačního formalismu. Zadruhé se zabýváme svazem multi- sortových (relačních) klonů a nabízíme alternativní důkaz jeho spočetnosti - výsledku, jehož původní důkaz pochází od V. Taimanova z roku 1983, ale do roku 2022 nebyl publikován v žádném časopise ani přeložen z ruštiny. Dále také poskytujeme vhled do užití vybudovaných myšlenek pro studium 2-sortových klonů. Při řešení těchto problémů využíváme především koncept klíčových relací (spolu s jejich popisem) představený D. Zhukem v roce 2017 a známou Galoisovu korespondenci mezi operacemi a relacemi. Kromě alternativních důkazů těchto faktů též budujeme několik dalších nástrojů k dalšímu studiu relačních klonů.