Fixation time in Moran process under strong selection

Abstract

Moran process is a model used in evolutionary dynamics to study natural selection. In this process, a population of individuals evolves in steps. In one step a random individual is selected with probability proportional to its fitness and spreads to its randomly selected neighbor. The classical course of study is to consider an individual with a hereditary mutation and examine the fate of this mutation in time. This thesis investigates a modified version of the Moran process that corresponds to the strong selection, as in the dynamics of invasive species. In this process, only the mutant individuals spread and eventually conquer the whole population. The key quantity that we study is the so-called fixation time, which is the expected time until all individuals become mutants. We give tight upper and lower bounds for fixation time on a general population structure and refine them for some classes. Additionally, we compute the precise fixation times on some specific population structures.

Moranův proces je model, který se používá v evoluční dynamice ke studiu přírozeného výběru. V tomto procesu máme populaci jedinců, která se vyvíjí v krocích. V jednom kroku je vybrán náhodný jedinec s pravděpodobností úměrnou své zdatnosti (fitness), a ten se rozšíří do svého náhodně vybraného souseda. Klasickým předmětem studia je uvažovat jedince s dědičnou mutací a zkoumat osud této mutace v čase. Tato práce se zabývá upravenou verzí Moranova procesu, která odpovídá silné selekci, tak jako je tomu například v dynamice invazivních druhů. V tomto procesu se rozmno- žují pouze mutantní jedinci, kteří nakonec ovládnou celou populaci. Klíčovou veličinou, kterou studujeme, je tzv. čas fixace, tedy očekáváná doba než se všichni jedinci stanou mutanty. V práci ukazujeme těsné horní a dolní odhady na čas fixace pro obecnou strukturu po- pulace a zlepšujeme je pro některé třídy. Kromě toho dokazujeme přesné doby fixace pro některé konkrétní struktury populace.