Optimal function spaces in weighted Sobolev embeddings with monomial weight

Abstract

In this thesis we study a weighted Sobolev-type inequality for functions from a certain Sobolev-type space that is built upon a rearrangement-invariant space. Considered rear- rangement-invariant spaces are defined on the space Rn endowed with the measure that is given by a monomial weight. We prove a so-called reduction principle for the Sobolev- type inequality. The reduction principle represents a method of how to characterize the rearrangement-invariant spaces that satisfy the Sobolev-type inequality by means of one- dimensional inequalities. Next, for a fixed domain rearrangement-invariant space, we describe the optimal, i.e. the smallest target rearrangement-invariant space such that the Sobolev-type inequality holds. Finally, we describe some concrete examples. We describe the optimal spaces for Lorentz-Karamata spaces. 1

V této práci studujeme jistou váženou Sobolevovu nerovnost pro funkce z daného Sobolevova prostoru, jenž je vybudován nad prostorem s normou nezávisející na pře- rovnání. Uvažované prostory s normou nezávisející na přerovnání jsou zavedeny na pro- storu Rn s váženou mírou, jež je definována pomocí monomiální váhy. V práci dokážeme redukční princip pro danou Sobolevovu nerovnost. Redukční princip představuje metodu, jak za použití nerovností zahrnujících funkce pouze jedné proměnné charakterizovat pro- story s normou nezávisející na přerovnání, jež splňují zkoumanou Sobolevovu nerovnost. Pro pevně zvolený prostor s normou nezávisející na přerovnání dále nalezneme optimální, tedy nejmenší, prostor s normou nezávisející na přerovnání, jenž splňuje Sobolevovu ne- rovnost. Nakonec odvodíme charakterizaci těchto optimálních prostorů pro Lorentzovy- Karamatovy prostory. 1