Fine properties of functions and operators

Abstract

We establish the equivalence between the boundedness of certain supremum operators and optimal spaces in Sobolev embeddings. We do this by exploiting known relations between higher-order Sobolev embeddings and isoperimetric inequalities. We provide an explicit way to compute both the optimal domain norm and the optimal target norm in a Sobolev embedding. Finally, we apply our results to higher-order Sobolev embeddings on John domains and on domains from the Maz'ya classes. Furthermore, our results are partially applicable to embeddings involving product probability spaces. 1

Dokážeme ekvivalenci omezenosti jistých supremálních operátorů a optimality pros- torů v Sobolevově vnoření. Tohoto docílíme tak, že využijeme známých vztahů mezi Sobolevovými vnořeními a izoperimetrickými nerovnostmi. Nalezneme explicitní vzorce pro normu optimálního výchozího prostoru a pro normu optimálního cílového prostoru v Sobolevově vnoření. Nakonec aplikujeme naše obecné teoretické výsledky na Sobolevova vnoření vyšších řádů pro funkce definované na regulárních oblastech a na oblastech náleže- jících do Maz'yovy třídy. Výsledky jsou částečně použitelné například v kontextu prostorů se součinovou pravděpodobnostní mírou. 1