Modeling and statistics of random tessellations with applications to the study of microstructure of polycrystallic materials

Abstract

Filip Seitl Modelování a statistika náhodných mozaik s aplikacemi ve studiu mikrostruktury polykrystalických materiálů Práce popisuje statistickou metodologii sloužící k analýze Laguerrových mozaik. Na Laguerrovu mozaiku lze nahlížet jako na realizaci kótovaného bodového procesu generátorů. V práci je podrobně studována závislost kót a bodového procesu. Následně jsou prezentovány dva parametrické modely. První model je založen na kótovaných Gibbsových bodových procesech a vede na širokou třídu takzvaných Gibbs-Laguerrových mozaik. Za určitých předpokladů je dokázána existence nekonečných Gibbsových měr. Podrobně je diskutována volba funkce energie vhodná pro aplikace v materiálovém inženýrství. Druhý model zavádí hierarchický přístup, kdy je v první řadě modelován bodový vzorek poloh ge- nerátorů, a v druhém kroku jsou pak modelovány kóty podmíněně na zna- losti poloh. V obou krocích jsou modely vyjádřené hustotou spadající do ex- ponencíální rodiny hustot. Práce popisuje různé statistické nástroje pro odhad parametrů a výběr vhodného modelu. Metodologie je aplikována na dva da- tasety reprezentující generátory dvou Laguerrových mozaik, kde tyto mozaiky byly získány jako aproximace mikrostruktur...

Filip Seitl Modeling and statistics of random tessellations with ap- plications to the study of microstructure of polycrystallic materials We present a parametric statistical methodology for analysing a Laguerre tessel- lation data set viewed as a realization of a marked point process of generators. We study the dependence of the marks and the point process in detail. Further, we suggest two general models. The first one is based on marked Gibbs point processes and leads to a broad class of Gibbs-Laguerre tessellations. Under mild assumptions we prove the existence of the infinite-volume Gibbs measure. Then the choice of energy function for applications is discussed in detail. The sec- ond model is hierarchical, where in the first step the point pattern is modelled and in the second step the marks are modelled conditionally on points, using exponential family models based on geometrical characteristics of the tessella- tion. Statistical tools for the parameter estimation, model selection and fitting are suggested and implemented. We apply our methodology for a 3D Laguerre tessellation data set representing the microstructure of a polycrystalline metal- lic material, where simulations under a fitted model may substitute expensive laboratory experiment. 1