Semifields and skew polynomial rings

Abstract

In this thesis we give constructions of semifields, often characterized as not necessarily associative division algebras, from skew polynomial rings which are rings of polynomials over a field where multiplication is not commutative. These constructions are crucial for their use as maximum rank-distance codes, a family of self-correcting codes with a rank distance metric. We explore various connections between these structures through isotopy, isomorphy and equality. We also make the effort to prove as much of the fun- damental theory as possible since it is often regarded as obvious by the experts of the field. 1

V této práci představujeme konstrukci polotěles (která bývají často charakterizována jako algebry s dělením, kde násobení není nutně asociativní) pomocí okruhů kosých poly- nomů. To jsou okruhy polynomů nad tělesem, kde násobení není nutně asociativní. Tyto konstrukce jsou důležité pro svoje využití jako MRD kódy, což je rodina samoopravných kódů, kde vzdálenost měříme pomocí hodnosti rozdílu matic. Procházíme zde různá propojení mezi těmito objekty pomocí izotopismů, izomorfismů a rovností. Také se snažíme dokázat maximální množství zakladních poznatků tohoto oboru, jelikož jsou často experty považovány za samozřejmé. 1