Diferenciální rovnice s vlastním číslem v okrajové podmínce

Abstract

The goal of this thesis was to study Stokes problem with eigenvalue in bound- ary condition. We were in particular interested in determining the asymptotic be- haviour of the sequence of eigenvalues. We approached this problem by modifying techniques used in several papers studying asymptotic behaviour of eigenvalues in boundary condition for Steklov problem and we wanted to conclude similar re- sults. Firstly, we introduced some theoretical results yielding that the eigenvalue sequence of the problem is corresponding to an eigenvalue sequence of a certain compact and self-adjoint operator. Next, we explicitly calculated precise asymp- totic behaviour of eigenvalues of auxiliary problems on simple domains, however, due to technical difficulties, we were only able to do in two and three dimensions. Finally, by using Min-max Theorem, we managed to get estimates of eigenvalues of the original problem on any bounded C2 domain by eigenvalues of considered auxiliary problems and thus by applying previous results, we managed to prove the desired asymptotic behaviour. 1

Cílem této práce bylo studovat Stokesův problém s vlastním číslem v okra- jové podmínce a naším primárním zájmem bylo vyšetřit asymptotické chování posloupnosti vlastních čísel. K řešení tohoto problému jsme vhodně modifikovali techniky, které byly užity v několika pracích studujících asymptotické chování vlastních čísel v okrajové podmínce pro Steklovův problém a cílem bylo dospět k podobným výsledkům. Nejprve jsme dokázali konkrétní teoretické výsledky ukazující spojitost mezi posloupností vlastních čísel daného problému a posloup- ností vlastních čísel jistého kompaktního a samoadjungovaného operátoru. Dále jsme explicitně spočítali přesné asymptotické chování vlastních čísel pomocných problémů na oblastech s jednoduchou geometrií, což se nám však vzhledem k technickým obtížím podařilo pouze ve dvou a ve třech dimenzích. Posléze se nám pomocí Min-max Věty podařilo získat odhady vlastních čísel původního problému na každé omezené C2 oblasti pomocí vlastních čísel uvažovaných pomocných pro- blémů a následnou aplikací získaných výsledků i dokázat požadované asympto- tické chování. 1