Pólyův-Lundbergův proces

Abstract

The main subject of the Bachelor's thesis is the P'olya-Lundberg process. It is a non-homogenous Markov chain that represents a generalization of the Poisson process. The main aim of the thesis is to depict some of its important features, to prove them and to put them into context. The thesis is sectioned into four chapters where the first chapter introduces basic concepts and objects that are crucial for understanding of this text. In the second chapter we define the P'olya-Lundberg process and we derive some of its main characteristics. The third chapter is devoted to the relationship between the P'olya-Lundberg process and the mixed Poisson process. Lastly, the final chapter discusses the so-called urn models, especially its generalization for which there is shown that if several conditions are fulfilled the generalized urn model converges to the P'olya-Lundberg process at a fixed time.

Tématem této bakalářské práce je Pólyův-Lundbergův proces. Jedná se o ne- homogenní Markovův řetězec, který představuje jisté zobecnění Poissonova pro- cesu. Cílem práce je popsat některé jeho důležité vlastnosti, dokázat je a uvést tento náhodný proces do kontextu a souvislostí. Práce je členěna do čtyř kapi- tol, kde první kapitola představuje základní pojmy nutné pro porozumění textu. Ve druhé kapitole je Pólyův-Lundbergův proces definován a jsou odvozeny jeho základní charakteristiky. Třetí kapitola se zabývá souvislostí mezi smíšeným Poissonovým procesem a Pólyovým-Lundbergovým procesem. Závěrečná kapi- tola se zabývá tzv. urnovým modelem, jeho zobecněním, u kterého se ukáže, že za určitých podmínek konverguje k Pólyovu-Lundbergovu procesu v pevném časovém okamžiku.