Covering families of triangles by convex sets

Abstract

A convex universal cover of a family M of sets in the plane is a convex set that contains a congruent copy of every element of M. Park and Cheong conjecture that for every family of triangles with bounded diameter there exists a triangle that is a smallest universal cover of this family. We prove this conjecture for every family of all triangles with the lengths of their two sides fixed, every family of all triangles with the length of a side and the size α of the opposite angle fixed (where α is from an interval (0, λ]∩[3π/7, π) with λ being approximately 0.396π), every finite subfamily of a family of all triangles with the length of a side and the size α of the opposite angle fixed (where α ≥ π/2). 1

Konvexné unverzálne pokrytie množiny M rovinných útvarov je konvexná množina obsahujúca zhodnú kópiu každého prvku M. Park a Cheong vyslovili domnienku, že pre každú množinu trojuholníkov s obmedzeným priemerom existuje trojuholník, ktorý je najmenším univerzálnym pokrytím tejto množiny. V tejto práci túto domnienku dokážeme pre každú množinu všetkých trojuholníkov s danými dĺžkami ich dvoch strán, každú množinu všetkých trojuholníkov s danou dĺžkou strany a veľkosťou α protiľahlého uhla (kde α je z intervalu (0, λ] ∩ [3π/7, π), pričom λ ≈ 0.396π), každú konečnú podmnožinu množiny všetkých trojuholníkov s danou dĺžkou strany a veľkosťou α protiľahlého uhla (kde α ≥ π/2). 1