Simplicial depth

Abstract

Depth functions play a crucial role in nonparametric statistics by generalizing orderings, ranks, and quantiles to multivariate data. In our thesis, we provide a comprehensive study of the classical and revised definitions of simplicial depth function, accompanied by detailed and illustrated proofs of some of their proper- ties. Our research also addresses some issues in previous publications and explores potential expansions of those concepts. In the final part of the thesis, we reveal an intriguing connection between simplicial depth and Sylvester's four-point prob- lem, which may have implications for future advancements in this field. 1

Hĺbkové funkcie nepochybne zohrávajú kľúčovú úlohu v neparametrickej šta- tistike, a to tým, že zovšeobecňujú poradie a kvantily pre viacrozmerné dáta. V našej práci sa zameriame na simplexovú hĺbkovú funkciu. Dôkladne dokážeme jej hlavné vlastnosti, pričom dôkazy doplníme o ilustrácie. Tiež si predstavíme niektoré z možných alternatívnych definícií simplexovej hĺbky. Počas štúdie jednej z nich však narazíme na určité nepresnosti v publikovaných výsledkoch. Pokúsime sa ich opraviť a v niektorých prípadoch aj rozšíriť. Nakoniec, v záverečnej časti práce predstavíme zaujímavú súvislosť medzi simplexovou hĺbkou a Sylvesterovym problémom štyroch bodov, ktorá môže mať dôsledky pre budúce pokroky v tejto oblasti. 1