Naive set theory with exclusive interpretation of quantifiers

Abstract

Naive set theory can be formalised in first-order logic as a theory with one axiom (of extensionality) and one axiom schema (of unrestricted comprehension). It is widely known that this theory is inconsistent. What is less known is that a mere reinterpretation of the quantifiers in the schema of unrestricted comprehension blocks all the well-known paradoxes of naive set theory. This is the case when the quantifiers are interpreted exclusively, which is an idea that originates in Wittgenstein's Tractatus in the context of elimination of identity from logic. In the context of set theory, the idea was first used by Jaakko Hintikka thirty five years later. This thesis introduces and investigates the possibility of using exclusive interpretation of quantifiers to avoid paradoxes of naive set theory. The main criterion of success is consistency of the resulting theory. The main result of this thesis is the proof that the set theories, which use the idea of exclusive interpretation and which Hintikka left as possibly consistent, are inconsistent. The inconsistency is discussed in the context of Russell's vicious circle principle, which is found to be inadequate.

Naivní teorii množin je možné formalizovat v logice prvního řádu jako teorii s jedním axiomem (extenzionality) a jedním axiomatickým schématem (neomezené komprehenze). Dobře známým faktem je, že taková teorie je sporná. Avšak méně známým faktem je to, že pouhá reinterpretace kvantifikátorů ve schématu neomezené komprehenze zablokuje všechny dobře známé paradoxy naivní teorie množin. Jde o exkluzivní interpretaci a tento nápad pochází z Wittgensteinova Traktátu, kde se objevuje v kontextu možnosti eliminace identity z logiky. V kontextu teorie množin jej poprvé použil až Jaakko Hintikka o třicet pět let později. Tato práce představuje a zkoumá možnost použití exkluzivní interpretace kvantifikátorů k zablokování paradoxů naivní teorie množin. Hledaná teorie by měla být především bezesporná. Hlavním výsledkem práce je důkaz toho, že teorie množin, které využívají tuto reinterpretaci kvantifikátorů a u kterých Hintikka nechal otázku bezespornosti otevřenou, jsou sporné. Spornost těchto teorií je diskutována v kontextu Russellova principu bludného kruhu, který je zhledán nedostatečným.