Geodetická deviace

Abstract

In the thesis, we derive the well-known equation of geodesic deviation, and then by relaxing one of the initial assumptions we obtain its generalized form. Next, we rewrite the generalized equation in an invariant form projecting the Riemann tensor onto an orthonormal frame associated with the fiducial observer moving along the geodesic in D- dimensional spacetime. We decompose the Riemann tensor into the traceless Weyl tensor, Ricci tensor, and scalar curvature and express these quantities with respect to the null frame. In general, the projections of the Weyl tensor enable us to study the spacetime properties based on its algebraic type. Finally, we employ the Einstein field equations to relate the Ricci tensor and scalar curvature, respectively, with the matter content of the spacetime. As an explicit example, we discuss the Kundt spacetime of algebraic type II representing gravitational waves propagating on the type D background in D-dimensional Einstein's gravity.

V práci odvodíme dobře známou rovnici geodetické deviace a poté uvolněním jednoho z výchozích předpokladů získáme její zobecněnou podobu. Dále přepíšeme tuto zobecně- nou rovnici v invariantní podobě promítnutím Riemannova tenzoru na ortonormální bázi spojenou s referenčním pozorovatelem pohybujícím se po geodetice v D-rozměrném ča- soprostoru. Následně rozložíme Riemannův tenzor na bezestopý Weylův tenzor, Ricciho tenzor a skalární křivost a vyjádříme tyto veličiny vzhledem k nulové bázi. Obecně nám takové projekce Weylova tenzoru umožňují studovat vlastnosti časoprostoru na základě jeho algebraického typu. Nakonec použijeme Einsteinovy rovnice pole k propojení Ric- ciho tenzoru a skalární křivosti s hmotou. Jako konkrétní příklad diskutujeme Kundtův prostoročas algebraického typu II reprezentující gravitační vlny šířící se na pozadí typu D v D-rozměrné Einsteinově gravitaci.