Mixed Precision in Uncertainty Quantification Methods

Abstract

This work is concerned with analysing and exploiting mixed precision arithmetic in un- certainty quantification methods with emphasis on the multilevel Monte Carlo (MLMC) method. Although mixed precision can improve performance, it should be used carefully to avoid unwanted effects on the solution accuracy. We provide a rigorous analysis of uncertainty quantification methods in finite precision arithmetic. Based on this analysis, we exploit mixed precision arithmetic in uncertainty quantification methods to improve runtime while preserving the overall error. We begin by stating the model problem, an elliptic PDE with random coefficients and a random right-hand side. Such a problem arises, for example, in uncertainty quantification for groundwater flow. Our focus is on approximating a quantity of interest given as the expected value of a functional of the solution of the PDE problem. To this end, we use the conforming finite element method for approximation in the spatial variable and the MLMC method for approximation of the expected value. We provide a novel rigorous analysis of the MLMC method in finite precision arithmetic and based on this we formulate an adaptive algorithm which determines the optimal precision value on each level of discretisation. To our knowledge, this is a new approach. Our...

Tato práce se zabývá analýzou a využitím tzv. aritmetiky se smíšenou přesností (mixed precision arithmetic) v metodách pro kvantifikaci nejistoty (uncertainty quan- tification methods) s důrazem na víceúrovňovou metodu Monte Carlo (multilevel Monte Carlo, MLMC). Aritmetika se smíšenou přesností může být využita ke zvýšení výpočet- ního výkonu, ale měla by být využívána obezřetně, abychom se vyvarovali nežádoucích efektů na přesnost výsledku. Tato práce přináší exaktní analýzu metod pro kvantifikaci nejistoty v aritmetice se smíšenou přesností. Na základě této analýzy využijeme ar- itmetiku se smíšenou přesností ke zrychlení běhu algoritmů pro kvantifikaci nejistoty, přičemž celková chyba zůstane zachována. Začneme tím, že uvedeme modelový problém, eliptickou parciální diferenciální rovnici s náhodnými koeficienty a náhodnou pravou stranou. Problém tohoto typu dostáváme například při modelování proudění podzemní vody. Zaměřujeme se na aproximaci veličiny, která je dána jako střední hodnota nějakého funkcionálu řešení dané parciální diferenciální rovnice. K tomuto účelu používáme konformní metodu konečných prvků pro aproximaci v prostorové proměnné a metodu MLMC pro aproximaci střední hodnoty. Tato práce přináší novou exaktní analýzu metody MLMC v aritmetice s konečnou přesností. Na základě této analýzy...