Optimal control of Lévy-driven stochastic equations in Hilbert spaces

Abstract

Řízené lineární stochastické evoluční rovnice s Lévyho procesy jsou studovány v prostředí Hilbertových prostorů. Operátor řízení může být neomezený, což umožňuje, aby výsledky získané v abstraktní podobě byly použitelné pro parabolické SPR s hraničním nebo bodovým řízením. První část obsahuje některé přípravné technické výsledky, zejména verzi Itôvy formule, která je použitelná pro slabá/mild řešení řízených rovnic. Ve druhé části je vyřešen problém s ergodickým řízením: Nalezeno optimálního řízení ve "feedback" podobě a vzorec pro optimální cenu. Řídicí problém je řešen ve smyslu střední hodnoty a za speciálních podmínek po trajektoriích. Jako příklady jsou studovány různé řízené SPR parabolického typu. 1

Controlled linear stochastic evolution equations driven by Lévy processes are studied in the Hilbert space setting. The control operator may be unbounded which makes the results obtained in the abstract setting applicable to parabolic SPDEs with boundary or point control. The first part contains some preliminary technical results, notably a version of Itô formula which is applicable to weak/mild solutions of controlled equations. In the second part, the ergodic control problem is solved: The feedback form of the optimal control and the formula for the optimal cost are found. The control problem is solved in the mean-value sense and, under selective conditions, in the pathwise sense. As examples, various parabolic type controlled SPDEs are studied. 1