Classical anomalies

Abstract

Classical anomalies defined as due to centrally extended algebras of Noether charges are discussed. Specific emphasis is given to the (anomalous) conformal symmetry in two dimensions, governed by the Virasoro algebra of the Noether charges. Liouville field theory as an example of a classically anomalous theory is studied, in flat and curved spacetimes. We find that the presence of a central charge leads to an energy-momentum tensor with non- tensorial conformal transformations in flat spacetime and a non-vanishing trace in curved spacetime. A set of improvements of Liouville theory, leading to the Weyl invariance, is given. By explicit calculations it is shown how the conservation of the improved energy-momentum tensor is lost, while the improvements restore the tracelessness and the relation between the chosen improvement and the corresponding subset of preserved diffeomorphisms is given. The non-tensorial transformation rule of the improved energy-momen- tum tensor in a curved spacetime is related back to the central charge of the Virasoro algebra.

Tato práce rozebírá klasické anomálie, definované v důsledku možného centrálního rozšíření algeber generátorů symetrií. Zvláštní důraz je zde kla- den na (anomální) konformní symetrii ve dvou dimenzích, která je dána Vira- sorovou algebrou generátorů symetrií. Liouvilleova polní teorie, jako příklad klasické anomální teorie, je zde prezentována v plochém i zakřiveném časo- prostoru. Přítomnost centrálního rozšíření vede k tenzoru energie a hybnosti, který se transformuje netenzorově při konformních transformacích v plochém časoprostoru a který má nenulovou stopu v zakřiveném časoprostoru. Dále jsou odvozeny možné modifikace Liouvilleovy teorie vedoucí k Weylově inva- rianci. Explicitní výpočty ukazují jak dochází ke ztrátě zachování modifiko- vaného tenzoru energie a hybnosti za současného vynulování stopy tenzoru. Odtud je odvozen vztah mezi zvolenou modifikací a podmnožinou respek- tovaných difeomorfismů. Netenzorové transformace modifikovaného tenzoru energie a hybnosti v křivém časoprostoru jsou dány v souvislost s centrálním členem Virasorovy algebry.