Malliavinovy operátory pro reálné gaussovské náhodné veličiny a jejich aplikace

Abstract

In this thesis, we introduce Malliavin Operators. We will focus on derivative, di- vergence and Ornstein-Uhlenbeck operator to study properties of transformed Gaussian random variables. We will explain all concepts in detail and add some typical examples. Then we will use Malliavin operators in the proofs of famous Poincaré inequality and variance expansions. The technique of the last proofs provides a good general approach how to solve similar problems with understanding Malliavin Operators. 1

Text představí takzvané Malliavinovy operátory, konkrétně se zaměříme na derivační, divergenční a Ornsteinův-Uhlenbeckův operátor, s cílem zkoumat náhodné veličiny, vznik- lých tranformací náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Veškeré nově zavedené pojmy důkladně vysvětlíme a připojíme hned několik názorných příkladů. Vše zúročíme při důkazu slavné Poincarého nerovnosti a ve větě o rozvoji rozptylu tranfor- mované veličiny. Technika závěrečných důkazů poskytuje i dobrý obecný návod, jakým způsobem řešit příklady obdobného typu na základě znalosti Malliavinových operátorů. 1