H-compactifications of topological spaces

Abstract

H-compactifications form an important type of compactifications, carrying the ex- tra property that all automorphisms of a given topological space can be continuously extended over such compactifications. Van Douwen proved there are only three H-compactifications of the real line and only one of the rationals. Vejnar proved that there are precisely two H-compactifications of higher dimensional Euclidean spaces. The concept of H-compactifications is introduced at the beginning, extra emphasis being put on the Alexandroff and Stone-Čech compacti- fication. We summarize findings that exist about H-compactifications of some well-known spaces. The result we come with in the Chapter 3 is that there is only one H-compactification of the set of all rational sequences, which is precisely the Stone-Čech compactification. The third chapter describes various properties of the set of all rational sequences and its clopen subsets. Some of them - mainly strong zero-dimensionality and strong homogeneity - are then used to reach the said result. In the final Chapter 4, we ask a question about the set of all H-compactifications of the Hilbert space of all square summable real sequences and propose three ways to tackle this problem. We show that under certain conditions, any H-compactification of a space is homeomorphic to...

H-kompaktifikace tvoří důležitý typ kompaktifikací se speciální vlastností takovou, že všechny automorfismy daného topologického prostoru mohou být na takové kompaktifi- kace spojitě rozšířeny. Van Douwen dokázal, že existují pouze tři H-kompaktifikace prostoru reálných čísel a pouze jedna H-kompaktifikace racionálních. Vejnar dokázal, že existují právě dvě H- kompaktifikace euklidovských prostorů vyšších dimenzí. V úvodu představíme koncept H-kompaktifikace, přičemž zvláštní důraz je kladen na Alexandrovu a Čech-Stoneovu kompaktifikaci. Shrneme existující poznatky o H-kompaktifikacích několika známých pro- storů. Hlavním výsledkem třetí kapitoly je důkaz, že existuje jediná H-kompaktifikace mno- žiny všech racionálních posloupností, a tou je právě Čech-Stoneova kompaktifikace. Kapi- tola dále popisuje vlastnosti množiny všech racionálních posloupností a jejích obojetných podmnožin. Některé z těchto vlastností - především silná nul-dimenzionalita a silná ho- mogenita - jsou pak využity k dosažení zmíněného výsledku. V poslední kapitole nás zajímá množina všech H-kompaktifikací Hilbertova prostoru l2 a navrhujeme tři způsoby, jak na tento problém nahlížet. Ukazujeme, že za určitých pod- mínek je jakákoliv H-kompaktifikace daného prostoru homeomorfní jeho Čech-Stoneově kompaktifikaci. Dále se díváme na...