Exact solutions with matter fields

Abstract

In this thesis we investigate Robinson-Trautman solutions of Einstein's gravity cou- pled to a matter field in higher dimensions, specifically a conformally invariant and non- linear electromagnetic field. The latter possesses in general a non-zero energy-momentum tensor, which provides a source term in Einstein's equations. We focus concretely on an electromagnetic field aligned with the null vector field generating the expanding con- gruence of Robinson-Trautman spacetimes. At the beginning, we review the concept of optical scalars for a null vector field in higher dimensions and we use those to define the higher-dimensional Robinson-Trautman class of spacetimes. Next, we solve the corre- sponding Einstein's equations and present the complete family of exact solutions of the theory under consideration. We then contrast the obtained results with the known ones for the linear Maxwell theory in higher dimensions. As a check, we also compare our results to the well-known results in D = 4, since in this case our matter theory reduces to the standard linear Maxwell theory. Finally, we study properties of a subfamily of solutions which represent the static black holes within our class. In particular, we ana- lyze the asymptotic behaviour, we show that a curvature singularity is always present for r → 0 and the...

V této práci zkoumáme řešení Einsteinových rovnic v rámci třídy nevakuových Robin- sonových-Trautmanových prostoročasů ve vyšších dimenzích, konkrétně řešení s kon- formně invariantním a nelineárním elektromagnetickým polem. Toto pole má obecně ne- nulový tenzor energie a hybnosti, který slouží jakožto zdrojový člen na pravé straně Ein- steinových rovnic. Konkrétně se zaměříme na elektromagnetická pole "mířící ve směru" nulového vektorového pole, které generuje expandující kongruenci nulových geodetik de- finující Robinsonovy-Trautmanovy prostoročasy. Nejprve zavedeme tzv. optické skaláry pro nulová vektorová pole ve vyšších dimenzích, které posléze využijeme k definování Robinsonových-Trautmanových prostoročasů. Dále uvedeme řešení již zmíněných Ein- steinových rovnic a představíme kompletní třídu přesných řešení této teorie. Získané vý- sledky pak porovnáváme s těmi, které byly získány v případě lineární Maxwellovy teorie ve vyšších dimenzích. Poté porovnáváme naše výsledky s již známými výsledky ve čtyřech dimenzích, jelikož v tomto případě se nelineární elektromagnetické pole, které uvažujeme, redukuje na standardní Maxwellovu teorii. Nakonec studujeme vlastnosti podtřídy řešení představující statické černé díry. Zejména analyzujeme asymptotické chování, ukážeme, že časoprostorová singularita nastává...